2理論模型及計(jì)算方法

2.1理論模型

假設(shè)一不可壓縮液滴在均勻加熱的固體表面上不斷蒸發(fā),如圖1所示,液滴初始最大厚度為,流動(dòng)方向尺度為L,壁面溫度為w.由于ε=?1(圖1中的H?,L?僅為表示清楚,不代表真實(shí)比例),因此可應(yīng)用潤滑理論(上標(biāo)～表示有量綱量,下同).

圖1液滴在加熱表面鋪展示意圖

液滴運(yùn)動(dòng)過程的控制方程包括連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程:

界面處的蒸發(fā)流量與界面溫度有關(guān),可表示為

為避免接觸線處出現(xiàn)應(yīng)力奇點(diǎn),在水平方向施加Navier滑移邊界條件:

壁面溫度滿足

由于固-液、固-氣界面張力目前仍難以通過實(shí)驗(yàn)直接測(cè)量,假設(shè)固-液、固-氣界面張力不隨溫度改變,而氣-液界面張力與溫度滿足線性關(guān)系:

將控制方程和邊界條件采用下式進(jìn)行無量綱化:

通過無量綱變換和保留數(shù)量級(jí)≥Ο(ε),可得無量綱控制方程組為

無量綱邊界條件為無量綱形式的界面張力與溫度關(guān)系為

液滴表面溫度為

采用積分法可得液滴厚度的演化方程為

(27)式右側(cè)依次代表毛細(xì)力、重力、熱毛細(xì)力和蒸發(fā)在液滴運(yùn)動(dòng)過程中的作用.

液滴在理想光滑表面上,在三相接觸線處,Young方程為

為描述接觸角遲滯影響,采用以下線性經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式描述前進(jìn)接觸角和后退接觸角與遲滯角之間的關(guān)系:

式中,A≥0是與粗糙度無關(guān),與液體性質(zhì)有關(guān)的常數(shù);遲滯角Δθ與表面粗糙度和化學(xué)異質(zhì)性有關(guān).

接觸線處的液滴高度為零,即h(x=xcl=xcr,t)=0,其中xcl和xcr分別代表左側(cè)和右側(cè)接觸線位置.采用下式描述接觸線移動(dòng)速率與接觸角間的關(guān)系[28](下標(biāo)c代表接觸線):

式中,B和m為常數(shù);θ為動(dòng)態(tài)接觸角;υc>0代表接觸線向外鋪展,υc<0代表向內(nèi)收縮.

計(jì)算初始條件為

式中,F(x)=0.5[1+tanh(20x)].

基于Karapetsas等提出的坐標(biāo)變換法,將瞬態(tài)物理域(x,t)映射到固定計(jì)算域(x',t'),

液滴運(yùn)動(dòng)區(qū)域設(shè)定為–1≤x'≤1,時(shí)間導(dǎo)數(shù)表示如下:

(36)式用于替換控制方程(27)的相應(yīng)項(xiàng).

數(shù)值求解采用Freefem++14.3,該軟件是求解偏微分方程的強(qiáng)大工具,是一款免費(fèi)的、開放源代碼的有限元計(jì)算軟件,目前已經(jīng)比較成熟地運(yùn)用在各類數(shù)值模擬中,對(duì)于液滴、液膜的流體數(shù)值計(jì)算也很常見.該軟件采用Delaunay算法生成離散偏微分方程所需網(wǎng)格,具有網(wǎng)格自適應(yīng)和移動(dòng)網(wǎng)格生成的功能;采用稀疏矩陣存儲(chǔ)格式,內(nèi)存需求少,計(jì)算速度快,是求解復(fù)雜區(qū)域問題的高效計(jì)算軟件.

2.2計(jì)算模型驗(yàn)證

參照朱仙仙等用4μL去離子水在加熱溫度為60°的玻璃表面上的蒸發(fā)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),換算得到無量綱參數(shù),各參數(shù)取值為:ε=0.1,A=0.39,B=0.007,m=3,C=–0.004,Bo=0.007,Ca=0.5,K=10,E=1×10-3,Ωlg=0.003.首先,為了驗(yàn)證數(shù)值模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性,將接觸角和接觸線隨時(shí)間變化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果無量綱化后與模擬值進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖2(a)和圖2(b)所示.可以看出,Δθ=0.27時(shí)的模擬值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果總體符合良好,即采用考慮接觸角遲滯的理論模型可更準(zhǔn)確地反映液滴的運(yùn)動(dòng)過程.值得注意的是,朱仙仙等所給實(shí)驗(yàn)結(jié)果并未呈現(xiàn)液滴鋪展階段,可能是由此階段變化較快、不易觀測(cè)記錄所致;模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果有偏差的原因可能是實(shí)驗(yàn)時(shí)基底加熱時(shí)受熱不均勻或者基底傳熱能力不一致,也有可能是基于潤滑理論建立模型時(shí),未考慮液滴蒸氣擴(kuò)散所致.

圖2計(jì)算模型的驗(yàn)證(a)接觸角的演化過程;(b)接觸線的演化過程;(c)網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證

此外,模擬時(shí)進(jìn)行了網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證,在x方向上對(duì)比了網(wǎng)格數(shù)為300,500和800的結(jié)果,發(fā)現(xiàn)增加網(wǎng)格數(shù)使計(jì)算時(shí)長增大,而各特征參數(shù)計(jì)算結(jié)果數(shù)值差距不大,以圖2(c)的接觸線演化過程為例,網(wǎng)格數(shù)為500時(shí)可同時(shí)滿足精確性與高效性的要求.因此,計(jì)算中時(shí)間步長設(shè)為10–6,將[0,2]×[0,1]的計(jì)算域劃分為500×2個(gè)均勻網(wǎng)格.因方程(27)是一維的,液滴厚度h與y方向無關(guān),所以為節(jié)約計(jì)算時(shí)間,在y方向僅劃分2層網(wǎng)格.